D'autres valeurs du cosinus et du sinus

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\). Le cercle trigonométrique suivant a été partagé en `20` parts égales.

1. Placer sur le cercle trigonométrique les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\) et \(\text{E}\) tels que :

• \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OA}}\right) =- \dfrac{\pi}{5}\)
• \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OB}}\right) =\dfrac{4\pi}{5}\)
  
• \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OC}}\right) =\dfrac{6\pi}{5}\)
  
• \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OD}}\right) =\dfrac{3\pi}{10}\)
  
•  \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OE}}\right) =-\dfrac{53\pi}{10}\)

2. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté de vecteurs \(\left(\overrightarrow{\text{OI}}\,;\overrightarrow{\text{OE}}\right)\).
3. Calculer \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\) et \(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{5}\).
4. On donne \(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\).
    a. Déterminer la valeur exacte de \(\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\).
    b. En déduire les valeurs exactes de \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\), \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\), \(\sin\left(\dfrac{6\pi}{5}\right)\), \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{53\pi}{10}\right)\).